Cosmología del Big Bang. Parte 02




Ecuaciones de Movimiento de Friedmann – Lemaître
Las ecuaciones cosmológicas de movimiento son derivadas de las ecuaciones de Einstein:
(Ec. 6)

Gliner y Zeldovich son los pioneros de la visión moderna, en la cual el término Λ es tomado para el rhs e interpretado como un momento energético efectivo del tensor Τμν, para el vacío de Λgμν/8πGN. Es común asumir que la materia contenida en el Universo es un fluido perfecto, por lo cual:
(Ec. 7)

Donde gμν es el espacio tiempo descrito por la Ec. 1, p es la presión isotrópica, ρ es la densidad de la energía y u = (1, 0, 0, 0) es el vector de velocidad para el fluido isotrópico en co-movimientos coordinados. Con el origen del fluido perfecto, las ecuaciones de Einstein nos dirigen a las ecuaciones de Friedmann – Lemaître:
(Ec. 8)
Y

(Ec. 9)
Donde H(t) es el parámetro Hubble y Λ es la constante cosmológica. La primera de ellas es llamada Ecuación de Firedmann. La ecuación de la energía por medio de Tμν = 0, nos lleva a una tercera ecuación útil (La cual puede derivarse de la Ec. 8 y la Ec. 9):
(Ec. 10)



La Ec. 10 puede también derivarse simplemente como una consecuencia de la primera ley de la termodinámica.

La Ec. 8 tiene una sencilla analogía mecánica clásica si desatendemos (Por el momento) el término cosmológico Λ. Al interpretar –k/R2 ‘Newtonianamente’ como una ‘energía total’, entonces vemos que la evolución del Universo se rige por una competencia entre la energía potencial (8πGNρ/3) y el término cinético (/R)2. Para Λ = 0, es claro que el Universo debe estarse expandiendo o contrayendo (Excepto en el punto previo al colapso en un Universo cerrado). El destino definitivo del Universo está determinado por la constante de curvatura k. Para k = +1, el Universo se re-colapsaría en un tiempo finito, mientras que para k = 0, -1, el Universo se expandirá indefinidamente. Estas conclusiones simples pueden alterarse cuando Λ ≠ 0, o de una forma general, cuando algún componente con (ρ + 3p) < 0.

Definición de los Parámetros Cosmológicos

Además del parámetro de Hubble, es útil para definir otros parámetros cosmológicos medibles. La Ecuación de Friedmann puede ser utilizada para definir una densidad crítica como k = 0 cuando Λ = 0.

(Ec. 11)

Donde el parámetro escalar Hubble, h es definido por:

(Ec. 12)

El parámetro de densidad cosmológica Ωtot es definido como la densidad relativa de energía para la densidad crítica:

(Ec. 13)

Nótese que uno puede reescribir la Ecuación de Friedmann como:

(Ec. 14)

De la Ec. 14 podemos observar que cuando Ωtot > 1, k = +1 y Universo es cerrado, cuando Ωtot < 1, k = -1 y el Universo es abierto, y cuando Ωtot = 1, k = 0 y el Universo es un espacialmente plano.

Frecuentemente es necesario para distinguir diferentes contribuciones a la densidad. Por lo tanto es conveniente definir los parámetros de densidad actuales para materia sin presión (Ωm) y partículas relativistas (Ωr), más la cantidad ΩΛ = Λ/3H2. En más modelos generales, deseamos desechar la suposición de que la densidad de la energía de vacío es constante, y por lo tanto el parámetro de densidad actual es indicado por ΩΛ. La Ecuación de Friedmann entonces es:

(Ec. 15)

Donde el subíndice 0 (cero) indica los valores actuales. Así, esta es la suma de las densidades de la materia, partículas relativistas y el vacío, que determina la señal global de la curvatura. Nótese que la cantidad –k/R20H20 es en ocasiones referida como Ωk. Este uso es desafortunado: Anima a pensar en la curvatura como una contribución a la densidad de la energía del Universo, lo cual no es correcto.

En la siguiente entrada o publicación será acerca de las soluciones al modelo estándar (A la ecuación general de estado, la radiación y materia que dominan el Universo y la energía de vacío).
 

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